関数の連続性と性質
関数が連続とは?
関数 $f(x)$ の $x \rightarrow a$ における
極限値が $f(a)$ であるとき、
すなわち、
が成り立つとき、
関数 $f(x)$ が $x=a$ において
連続であるという。
解説
より正確には、
関数の極限の定義
($\epsilon-\delta$ 論法)
を用いて次のように表される。
すなわち、
任意の正の数 $\epsilon$ に対して、
ある正の数 $\delta$ が存在し、
$$
\tag{1.1}
$$
を満たす全ての $x$ に対して、
$$
\tag{1.2}
$$
が成り立つ (下図)。
$\epsilon$ は任意の正の数であるので、
$(1.2)$ の幅は幾らでも小さく考えてもよい。
そういう意味で関数の連続性は次のように解釈できる。
すなわち、
関数 $f(x)$ の値を $f(a)$ を中心とするどんな小さな幅の中にも収めることができる $x$ の区間が $a$ の近傍に必ずある。
$(1.1)$ と $(1.2)$を書き直すと、
それぞれ
であるので、
$f(x)$ の $x=a$ における連続性は、
論理記号を用いて、
と表される。
ここで $\forall$ は「任意の」を表し、$\exists$ は「存在する」を表す。
例 1: 連続な関数
関数
は $x=0$ において連続である。
証明
直感的には
が成り立つことから、
$f(x)$ が $x=0$ において連続であることが分かる。
より正確には、次のように考察する。
任意の正の数 $\epsilon$ に対して、
$\delta = \sqrt{\epsilon}$ とすると、
$$
\tag{2.1}
$$
である $x$ は、
$$
\tag{2,2}
$$
を満たす。
このように任意の正の数 $\epsilon$ に対して、
$(2.1)$ ならば $(2.2)$ が成り立つ正の数
$\delta$ の存在が確かめられたので、
$
f(x) = x^2
$
は
$x=0$ において連続である。
例 2: 連続でない関数
階段関数
は、$x=0$ において連続ではない。
証明
$x$ を負の値から $0$ に近づけたとき、
であることから、
$f(x)$ が $x=0$ において連続ではない。
より正確には、次のように考察する。
$x$ が負であるならば、どんな値であっても、
が成り立つ。
したがって、
どのように 正の数 $\delta$ を選んだとしても、
を満たす $x$ の中に、
を満たす正の数 $\epsilon$ が存在するので (例えば $\epsilon = 0.5$)、
$f(x)$ は連続ではない。
例 3: 連続な関数
次の関数
は、$x=0$ において連続である。
証明
$x$ を負の値から $0$ に近づけたとしても、
正の値から $0$ に近づけたとしても、
が成り立つことから、
$f(x)$ が $x=0$ において連続であることが分かる。
より正確には、次のように考察する。
任意の正の数 $\epsilon$ に対して、
$\delta = \sqrt{\epsilon}$ とすると、
$$
\tag{4.1}
$$
である $x$ は、
$$
\tag{4.2}
$$
を満たす。
このように任意の正の数 $\epsilon$ に対して、
$(4.1)$ ならば $(4.2)$ が成り立つ
正の数 $\delta$ の存在が確かめられたので、
$
f(x)
$
は
$x=0$ において連続である。
和・積・商の連続性
関数 $f(x)$ と $g(x)$ が $x=a$ で連続であるとき、
すなわち、
であるとき、
$f(x)$ と $g(x)$ の和と積と商もまた連続である。
すなわち、
が成り立つ。
ただし、第三式については $g(a) \neq 0$ を仮定した。
合成関数の連続性
関数 $f(x)$ が $x=a$ で連続であり、
関数 $g(y)$ が $y=f(a)$ で連続であるならば、
合成関数 $h(x) = g(f(x))$ は $x=a$ で連続である。
すなわち、
が成り立つ。
証明
連続性の定義から、
関数 $f(x)$ が $x=a$ で連続であることは、
次のよう表される。すなわち、
任意の正の数 $\epsilon_{f}$ に対して、
ある正の数 $\delta_{f}$ が存在し、
$$
\tag{6.1}
$$
が成り立つ。
同じように、
関数 $g(y)$ が $y=f(a)$ で連続であることは、
次のよう表される。
すなわち、
任意の正の数 $\epsilon_{g}$ に対して、
ある正の数 $\delta_{g}$ が存在し、
$$
\tag{6.2}
$$
が成り立つ。
$(6.1)$ の $\epsilon_{f}$ は任意の正の数であるので、
$$
\tag{6.3}
$$
を満たす場合であっても、
$(6.1)$ が成り立つ $\delta_{f}$ が存在する。
この $\delta_{f}$ を用いると、
$(6.1)$ $(6.2)$ $(6.3)$ から
が成り立つ。
任意の正の値 $\epsilon_{g}$ に対して、
この関係が成り立つ正の数 $\delta_{f}$ が存在することが確かめられたので、
合成関数 $g(f(x))$ は $x=a$ で連続である。
すなわち、
である。
最大値・最小値の定理
有界な閉区間 $[a, b]$ 上で
連続な関数 $f(x)$ には、
最大値と最小値が存在する。
証明
初めに関数 $f(x)$ が $[a, b]$ 上で上に有界な関数であることを背理法によって証明する。
そこで、
$f(x)$ が区間 $[a, b]$ 上で上に有界な関数ではない(非有界な関数)と仮定する。
これは
区間 $[a, b]$ の中には $f(x)$ をどんな値よりも大きな数にする $x$ が存在すること意味する。
したがって、
関数 $f(x_{n})$ を値 $n$ よりも大きくする $x_{n}$ が区間 $[a, b]$ の中に存在する。
すなわち、
$$
\tag{7.1}
$$
を満たす数列 $x_{n}$ が区間 $[a, b]$ の中に存在する。
一方で数列 $\{ x_{n} \}$ は有界な区間 $[a, b]$ に含まれるので、
$\{ x_{n} \}$ には収束する部分列が存在する (
Bolzano–Weierstrassの定理)。
その部分列を $\{ x_{n_{k}} \}$ $(n_{1} \lt n_{2} \lt \cdots)$ と表し、
極限値を $c$ とすると、
$$
\tag{7.2}
$$
である。
部分列 $\{ x_{n_{k}} \}$ は区間 $[a, b]$ に含まれる数列であるので、
極限値 $c$ は区間 $[a, b]$ に含まれる
(
極限の大小関係の性質を参考)。
したがって、
$f(x)$ は $x=c$ で
連続である (理由: $f(x)$ は区間 $[a, b]$ で連続)。
これと $(2)$ から
$$
\tag{7.3}
$$
が成り立つ。
すなわち、数列 $f(x_{n_{k}})$ は収束する。
一方で数列 $\{ x_{n_{k}} \}$ は
数列 $\{ x_{n} \}$ 部分列であるから、$(7.1)$ を満たす。よって、
が成り立つ。
これより、
が成り立つが、右辺は発散するので、
を得る (数列 $f(x_{n_{k}})$ は収束しない)。
この結果は $(7.3)$ は矛盾するので、仮定が誤っていたことになる。
ゆえに、
$f(x)$ は区間 $[a, b]$ 上で上に有界な関数である。
ここからは、
$f(x)$ に最大値が存在することを証明する。
$f(x)$ は区間 $[a, b]$ 上で上に有界な関数であるので、
$f(x)$ には上限が存在する (上限定理 : 実数の連続性の公理の一つの表現)。
その上限を $S$ とすると、任意の正の数 $\alpha$ に対して、
$S-\alpha$ は $f(x)$ の上限ではないので、
を満たす数 $a_{1}$ が区間 $[a, b]$ の中に存在する
(もし存在しないとすると、$S$ が上限であることに矛盾する)。
同じように、
を満たす数 $a_{1}$ が区間 $[a, b]$ の中に存在する。
これを繰り返して行くと、
任意の自然数 $n$ に対して、
$$
\tag{7.4}
$$
を満たす数 $a_{n}$ が区間 $[a, b]$ の中に存在することが分かる。
このように数列 $\{ a_{n} \}$ を定義すると、
$(7.4)$ と
はさみうちの定理から、
$$
\tag{7.5}
$$
が成り立つ・
一方で、$\{ a_{n} \}$ は有界な閉区間 $[a, b]$ に含まれる数列であるので、
Bolzano–Weierstrassの定理により、
$\{ a_{n} \}$ には収束する部分列が存在する。
その部分列を $\{ a_{n_{i}} \}$ $(n_{1} \lt n_{2} \lt \cdots)$ と表し、
極限値を $d$ とすると、
$$
\tag{7.6}
$$
である。
$\{ a_{n_{i}} \}$ は区間 $[a, b]$ に含まれるので、
極限値 $d$ もまた区間 $[a, b]$ に含まれる
(
極限の大小関係の性質を参考)。
したがって、
$f(x)$ は $x=d$ で
連続である (理由: $f(x)$ は区間 $[a, b]$ で連続)。
このことと
$(7.6)$ から
が成り立つ。
これと 「$i \rightarrow \infty \Rightarrow n_{i} \rightarrow \infty$」
および
$(7.5)$ から
が成り立つ。
この式は、関数 $f(x)$ が $x=d$ のときに上限 $S$ と等しくなることを表す式である。
このように関数が上限と等しくなるならば、その上限がその関数の最大値であるので、
$f(x)$ には最大値 $S$ が存在することが証明された。
最小値の存在についても同様に証明される。