正規分布の期待値と分散
正規分布の期待値
確率変数 $X$ がパラメータが $\mu$ と $\sigma$
の
正規分布に従うとき、
すなわち、
であるとき、
$X$ の
期待値 $E(X)$ は、
である。
証明
正規分布 $N(\mu, \sigma)$ に従う確率変数 $X$ の確率密度関数 $p(x)$ は、
である。
よって、
期待値は、
である。
ここで、右辺の積分変数を
と置くと、
であるので、
置換積分によって
と表される。
ここで、右辺の第一項の積分は、
積分範囲が $-\infty$ から $+\infty$ までの 1 次のガウス積分であるので、
値は 0 である。すなわち、
である。
また、
第二項の積分は、
積分範囲が $-\infty$ から $+\infty$ までの 0 次のガウス積分であるので、
である。
これらより、
を得る。
具体例
例 1:
下の図は、$\mu=5$, $\sigma=2$ の場合の正規分布である。
この場合の期待値は
である。
例 2:
下の図は、$\mu=10$, $\sigma=2$ の場合の正規分布である。
この場合の期待値は
である。
例 3:
下の図は、$\mu=5$, $\sigma=4$ の場合の正規分布である。
この場合の期待値は
である。
以上の例から分かるように、
同一の
$\mu$ を持つ正規分布は同じ期待値を持ち、
同じ位置にピークを持つ。
一方、$\sigma$ のみが異なる正規分布は、
分布の幅が異なる一方で、同一の期待値を持ち同一の位置にピークを持つ。
正規分布の分散
正規分布
$
N(\mu, \sigma^2)
$
に従う確率変数 $X$
の
分散 $V(X)$ は
である。
証明
正規分布 $N(\mu, \sigma^{2})$ に従う確率変数 $X$ の確率分布(確率密度関数) $p(x)$ は、
である。
分散の定義は、
であるが、
正規分布の期待値は、
であるので、
と表される。
右辺の積分変数を
と置換すると、
$x - \mu= \sigma t $ であるので、
と表せる。
右辺に現れた積分は、
積分範囲が $-\infty$ から $+\infty$ までの 2 次のガウス積分の公式によって、
という値を持つ。
ゆえに
である。
また、
標準偏差は、
である。
具体例
$\mu=5$, $\sigma=2$ の場合、
である。
$\mu=5$, $\sigma=4$ の場合、
である。
下の図は正規分布 ($\mu = 5, \sigma=2$:
青)と
正規分布($\mu = 5, \sigma=4$:
オレンジ) を一つの図に表したものである。
分散の大きな正規分布(
オレンジ)の方が、
分散の小さい正規分布(
青)よりもが分布が幅広い。
このように分散は、
正規分布の場合には $\sigma$ が大きいほど、
幅が広くなる。