ベクトル四重積
$3$ 次元ベクトル $\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$、$\mathbf{c}$、$\mathbf{d}$ の積
を
ベクトル四重積 (vector quadruple product) と呼ぶ。
ベクトル四重積は次の恒等式を満たす。
以下に証明を記す。
解説
成分による証明
$3$ 次元ベクトル $\mathbf{a}$、$\mathbf{b}$、$\mathbf{c}$、$\mathbf{d}$を
と表す。
外積の定義より、
$\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ と $\mathbf{c} \times \mathbf{d}$ の各成分は、
である。
これらより、
が成り立つ。
他の成分についても同様の関係が成り立つことから、
を得る。
また、同じように計算することによって、
も得られる。
補足:
レビ・チビタの記号を使って証明
外積を
レビチビタの記号を使って表すと、
である (「
外積とレビチビタの記号」を参考)。
ここで $j,k=1,2,3$ である。
これらより、
と表せる。
最後の等式では Levi-Civita の記号の巡回性
を用いた。
さらにレビチビタの記号の恒等式
(証明は
レビチビタの記号の性質を参考) を用いると、
と表せる。
最後の等式では
クロネッカーのデルタの定義
を用いた。
さらに計算を進めると、
外積と内積の定義から、
となる。
同様に
も証明される。