部分積分とは？    

証明
  積の微分の性質と不定積分の定義から が成り立つ。よって、不定積分の定義により である。

証明
  $f(x)g(x)$ の不定積分を $I(x)$ とする。 また、$f'(x)G(x)$ の不定積分を $J(x)$ とする。 $$ \tag{1} $$ $I(x)$ は不定積分の部分積分と $(1)$ より、 と表せる。 これと定積分の不定積分による表現から ここで と表すことにすると、 であるが、$(1)$ と定積分の不定積分による表現から であるので、 を得る。

証明
(i) とする。 $f(x) = e^{x}$、 $g(x) = \sin x$ として、 部分積分 $$ \tag{1} $$ を適用する。 であるので (不定積分の定義を参考)、 $$ \tag{2} $$ である。ここで 第二項の積分を $$ \tag{3} $$ とし、 $f(x) = e^{x}$、 $g(x) = \cos x$ として、 再び部分積分 $(1)$ を適用すると、 であるので $$ \tag{4} $$ である。以上 $(2)$ $(3)$ $(4)$ より、 であるので、 である。

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(ii) $f(x) = x$、 $g(x) = e^{x}$ として、 部分積分 を適用すると、 \begin{eqnarray} f'(x) &=& 1 \\ G(x) &=& e^{x} \\ (\because G'(x) &=& e^{x} = g(x)) \end{eqnarray} であるので である。