スカラー三重積の定義と大切な性質
定義
$3$ 次元ベクトル $\mathbf{a}$ と
$3$ 次元ベクトル同士の
外積
$\mathbf{b} \times \mathbf{c}$ の内積
を $\mathbf{a}$ と
$\mathbf{b}$ と $\mathbf{c}$ の
スカラー三重積と呼ぶ。
成分で表示すると、
である。
計算例:
$\mathbf{a}$ と
$\mathbf{b}$ と $\mathbf{c}$ が
である場合
である。
循環性
スカラー三重積には、
という入れ替えに対する不変性がある。
すなわち、
が成り立つ。
このような性質を循環性 (cyclic property) と呼ぶ。
証明
定義を用いて成分で表すと、
が成り立つことが分かる。
同様に
も成り立つ。
行列式に等しい
$3$ 次元ベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ と $\mathbf{c}$ のスカラー三重積は、
それぞれを列ベクトルに持つ行列式に等しい。
すなわち、
が成り立つ。
平行六面体の体積
スカラー三重積の絶対値は、
スカラー三重積を成す3つのベクトルによって構成される平行六面体の体積に等しい。
\begin{eqnarray}
&& |(\mathbf{c},\mathbf{a} \times \mathbf{b}) |
\\
&&
=\hspace{1mm} \mathbf{a}\hspace{1mm} \small と
\normalsize \hspace{1mm} \mathbf{b}\hspace{1mm} \smallと
\normalsize \hspace{1mm} \mathbf{c} \hspace{1mm}
\smallが成す平行六面体の体積
\end{eqnarray}
証明
ベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ と $\mathbf{c}$ が成す平行六面体を $P$ とする。
$P$ の体積は
から求められる。
以下では、
$\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ を含む平面を $P$ の底面として選び、その底面積を $S$ と表し、
$P$ の高さを $h$ と表す (下図) 。
底面は $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ から成る平行四辺形を成す。
したがって、
である。
ここで
平行四辺形の面積が外積の大きさに等しいことを用いた。
高さ $h$ は、
ベクトル $\mathbf{c}$ を底面の
(
規格化された)
法線ベクトル $\mathbf{n}$ 上に射影したベクトルの大きさに等しい。
したがって、
である。
法線ベクトル $\mathbf{a}$ と $\mathbf{b}$ の両方を直交するベクトルであるので、
これらの間の外積の方向を向く (
外積の性質を参考)。
したがって、
である。
これより、
である。
以上から、
である。
したがって、
$P$ の体積は $P$ の各辺を成すベクトルのスカラー三重積の絶対値に等しい。
補足:
スカラー三重積の絶対値は平行六面体の体積に等しいが、
絶対値がない場合には必ずしも等しくならない。
この場合、一般には負の値にもなりうる。
例えば、
の場合、
となる。
このようにスカラー三重積自体は負の値を取りうる。
このことからスカラー三重積を
符号付き体積または
有向体積と呼ぶことがある。